Question

【题目】如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．

（1）求这条抛物线对应的函数表达式；

（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）存在，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，），理由见解析；（3）

【解析】

（1）将A（3，0），B（﹣1，0）两点的坐标代入y＝ax2+bx+3即可求得答案；

（2）设点P坐标为（0，p），可求得顶点M（1，4），利用两点之间的距离公式分别求得、、，分类讨论计算：当∠PAM＝90°、∠APM＝90°、∠AMP＝90°时p的值，从而得到结论；

（3）根据三角形内心的定义作三边的高线，根据三角形内心的性质知四边形IEGH是正方形，设点I坐标为（m，n），根据点的坐标的意义及切线长定理求得：AG＝n+3﹣m，DG＝m+n，由勾股定理DG2+AG2＝DA2化简并配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，逆用两点之间的距离公式知：点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，当点I在线段CQ上时，CI最小，从而求得答案.

解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过点A（3，0），B（﹣1，0）

∴， 解得：．

∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）在y轴上存在点P，使得△PAM为直角三角形．

∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点M（1，4），

∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20，

设点P坐标为（0，p），

①AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2/span>

若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2，

∴20+9+p2＝17﹣8p+p2，解得：p＝﹣，

∴P（0，﹣）；

②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2，

∴9+p2+17﹣8p+p2＝20，解得：p1＝1，p2＝3，

∴P（0，1）或（0，3）；

③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2，

∴20+17﹣8p+p2＝9+p2，解得：p＝，

∴P（0，）

综上所述，点P坐标为（0，﹣）或（0，1）或（0，3）或（0，）时，△PAM为

直角三角形．

（3）如图，过点I作IE⊥x轴于点E，IF⊥AD于点F，IH⊥DG于点H

∵DG⊥x轴于点G，∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°，∴四边形IEGH是矩形，

∵点I为△ADG的内心，∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG，

∴矩形IEGH是正方形，

设点I坐标为（m，n），

∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n，

∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m，

∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m，

∵DA＝OA＝3，

∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m，

∴DG＝DH+HG＝m+n，

∵DG2+AG2＝DA2，∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32，

∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0，

配方得：（m﹣）2+（n+）2＝，

∴点I（m，n）与定点Q（，﹣）的距离为，

∴点I在以点Q（，﹣）为圆心，半径为的圆在第一象限的弧上运动，

∴当点I在线段CQ上时，CI最小，

∵CQ＝，∴CI＝CQ﹣IQ＝，

∴CI最小值为．