Question

10．如图，已知AB，CD，EF相交于点O，AB⊥EF于O，ON平分∠COF，OM平分∠DON．
（1）若∠AOC：∠CON=4：7，求∠DOF．
（2）若∠AOC：∠DOM=8：29，求∠COM．

Answer 1

分析 （1）利用垂直定义结合已知设∠AOC=4x，∠CON=7x，则∠NOF=7x，进而求出x的值，再利用角平分线的性质得出答案；
（2）利用垂直定义结合已知设∠AOC=∠DOB=8x，∠DOM=∠MON=29x，于是得到∠BOM=∠DOM-∠DOB=21x，求出∠CON=∠NOF=$\frac{1}{2}$（90°-8x）=45°-4x，推出∠MOF=29x-（45°-4x）=33x-45°然后根据垂直的定义列方程∠MOF+∠BOM=33x-45°+21x=90°，即可得到结果．

解答 解：∵EF⊥AB，ON为∠COF的平分线，
∴∠CON=∠FON，
∵∠AOC：∠CON=4：7，
∴设∠AOC=4x，∠CON=7x，则∠NOF=7x，
∴4x+7x+7x=18x=90°，
解得：x=5°，
故∠AOC=∠DOB=20°，∠CON=∠NOF=35°，
则∠DOF=90°+20°=110°，

（2）∵EF⊥AB，ON为∠COF的平分线，OM平分∠DON，
∴∠CON=∠FON，∠MON=∠DOM，
∵∠AOC：∠DOM=8：29，
设∠AOC=∠DOB=8x，∠DOM=∠MON=29x，
∴∠BOM=∠DOM-∠DOB=21x，
∵∠CON=∠NOF=$\frac{1}{2}$（90°-8x）=45°-4x，
∴∠MOF=29x-（45°-4x）=33x-45°，
∴∠MOF+∠BOM=33x-45°+21x=90°，
∴x=$\frac{5}{2}$，
∴∠COM=∠CON+∠NOM=45°-4x+29x=107.5°．

点评 此题主要考查了角平分线的定义以及垂线的定义，熟练应用角平分线的定义是解题关键．