Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（-1，7），且在x轴上截取长为3的线段，对称轴方程为x=1，求这个二次函数的解析式，并指出x取何值时，函数值最大（或最小）．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：把已知点的坐标代入函数解析式得到：7=a-b+c，①；
根据对称轴方程得到：b=-2a，②
根据根与系数的关系以及代数式的变形得到：4c=-5a，③
联立①②③可以求得系数a、b、c的值．

解答：解：∵二次函数y=ax²+bx+c的图象过点（-1，7），
∴7=a-b+c，①
又∵对称轴x=

b

2a

=1，可知 b=-2a，②
在x轴上截取线段长为3，不妨设抛物线与x轴交于x₁，x₂两点，则有|x₂-x₁|=3，
即：（x₂-x₁）²=9，
    （x₂+x₁）²-4x₂•x₁=9，
又∵x₁+x₂=-

b

a

=2，x₁•x₂=

c

a

，
∴上式可化简为：4c=-5a，③
由①②③，得
a=4，b=-8，c=-5
∴该二次函数的解析式为y=4x²-8x-5．
又∵a＞0，
∴函数在x=1处存在最小值，最小值为y=-9．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，需要熟悉抛物线方程与一元二次方程间的转化关系．