Question

【题目】如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，抛物线的对称轴交x轴于点D．

求抛物线的解析式；

求的值；

在抛物线的对称轴上是否存在点P，使是以CD为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

点E是线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时线段EF最长？求出此时E点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，点P的坐标为或，，理由见解析；（4）当点E坐标为时，线段EF最长

【解析】分析：（1）把点，代入到，用待定系数法，可得函数解析式；

（2）根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦函数的定义，可得答案；

（3）根据等腰三角形的定义，分PD=CD和PC=CD两种情况可得P点坐标；

（4）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案．

详解：抛物线过点，，

　　　　　

解析式为，

当时，解得舍，，

点B的坐标为，，

．

存在．

对称轴是，

点D的坐标为，

．

，得或，

，即P点与D点关于底边的高对称，得

D点的纵坐标为4，即，

综上所述：点P的坐标为或，；

设直线BC的解析式为

、C两点坐标分别为、，

解得，

直线BC的解析式为．

设E点坐标为，则F点坐标为，

，

当时，EF最长，

当点E坐标为时，线段EF最长．