题目内容

如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…记正方形ABCD的边为a₁=1，按上述方法所作的正方形的边长依次为a₂、a₃、a₄、…a_n，根据以上规律写出 $数学公式$ 的表达式________．

2^n-1
分析：求a₂的长即AC的长，根据直角△ABC中AB²+BC²=AC²可以计算，同理计算a₃、a₄．由求出的a₂= $\text{[math]}$ a₁，a₃= $\text{[math]}$ a₂…，a_n= $\text{[math]}$ ，a_n-1=（ $\text{[math]}$ ）^n-1，可以找出规律，得到第n个正方形边长的表达式．
解答：∵a₂=AC，且在直角△ABC中，AB²+BC²=AC²，
∴a₂= $\text{[math]}$ a₁= $\text{[math]}$ ，
同理a₃= $\text{[math]}$ a₂=2，
a₄= $\text{[math]}$ a₃=2 $\text{[math]}$ ，
…
由此可知：a_n=（ $\text{[math]}$ ）^n-1，则 $\text{[math]}$ =2^n-1．
故答案为：2^n-1．
点评：本题考查了正方形的性质，以及勾股定理在直角三角形中的运用，考查了学生找规律的能力，本题中找到a_n的规律是解题的关键．