Question

如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=45°，AB=BC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）设阴影部分的面积分别为，a，b，⊙O的面积为S，请直接写出S与a，b的关系式．
（答案不唯一）

Answer 1

【答案】分析：（1）AB是⊙O的直径，那么求得∠ABC为90°即可；
（2）设AC圆交于点D，连接BD，因为AD=BD，那么a可转移到弧BD与弦BD围成的面积，即△BCD的面积=a+b，易得△ADB的面积=△BCD的面积，那么半圆的面积=2a+a+b=3a+b，从而得到三者的关系．
解答：（1）证明：∵AB=BC，
∴∠CAB=∠ACB=45°．（1分）
∵在△ABC中，∠ABC=180°-45°-45°=90°，
∴AB⊥BC．（2分）
又∵AB是⊙O的直径，
∴BC是⊙O的切线．（1分）

（2）解：设AC圆交于点D，连接BD，
∵AD=BD，∴△BCD的面积=a+b，
∵△ADB的面积=△BCD的面积，
∴半圆的面积=2a+a+b=3a+b，
∴S=6a+2b．（2分）
点评：过圆心且与半径垂直的直线是圆的切线；求阴影部分面积，转移也是常用的方法．