Question

已知二次函数y = ax²的图象经过点（2，1）．

（1）求二次函数y = ax²的解析式；

（2）一次函数y = mx+4的图象与二次函数y = ax²的图象交于A（x₁、y₁）、B（x₂、y₂）两点．

①当时（图①），求证：△AOB为直角三角形；

②试判断当时（图②），△AOB的形状，并证明；

（3）根据第（2）问，说出一条你能得到的结论．（不要求证明）

 

Answer 1

解：（1）由条件得1 = 4a，，所以二次函数的解析式是…………………1分

（2）①由得，，

即A（－2，1），B（8，16）…………………………3分

过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，

则AC = 1，OC = 2，OD = 8，BD = 16，

∴   又∵∠ACO =∠ODB = 90º

∴△ACO ∽ △ODB  ………………………………4分

∴∠AOC = ∠OBD 

 ∴∠AOC ＋∠BOD = 90º

∴∠AOB = 90º   

∴△AOB为直角三角形　　　 …………………………………………………………分

②△AOB为直角三角形， ………………………………………………………………分

证明如下：

过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D

由得x²－4mx－16 = 0

解得，…………分

∴

∴……………………………分

∴OC•OD = AC•BD = 16   

∴     ………………………………………………………………………分

又∵∠ACO =∠ODB = 90º，∴△ACO ∽△ODB      ………………………………分

∴∠AOC =∠OBD

∴∠AOC ＋∠BOD =90º    ∴∠AOB =90º

∴△AOB为直角三角形．

（3）可能的结论为　     …………………………………………………………………分

如果过定点（0，4）的直线与抛物线交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么△AOB必为直角三角形．

如果过定点（0，）的直线与抛物线交于A、B两点，O为抛物线的顶点，那么△AOB必为直角三角形．