Question

如图，A、P、B、C是⊙O上的四点，∠APC =∠BPC = 60°， AB与PC交于Q点．

（1）判断△ABC的形状，并证明你的结论；

（2）求证：；

（3）若∠ABP = 15°，△ABC的面积为 4，求PC的长．

Answer 1

（1） ∵ ∠ABC =∠APC = 60°，∠BAC =∠BPC = 60°，

∴ ∠ACB = 180°－∠ABC－∠BAC = 60°，

∴ △ABC是等边三角形．

（2）如图，过B作BD∥PA交PC于D，

则 ∠BDP =∠APC = 60°．

又 ∵ ∠AQP =∠BQD，

∴ △AQP∽△BQD，　　 ．

∵ ∠BPD =∠BDP = 60°， ∴ PB = BD．

∴ ．

（3）设正△ABC的高为h，则 h = BC? sin 60°．

∵ BC ? h = 4， 即BC ? BC? sin 60° = 4，解得BC = 4．

连接OB，OC，OP，作OE⊥BC于E．

由△ABC是正三角形知∠BOC = 120°，从而得∠OCE = 30°，

∴ ．

由∠ABP = 15° 得 ∠PBC =∠ABC +∠ABP = 75°，于是 ∠POC = 2∠PBC = 150°．

∴ ∠PCO =（180°－150°）÷2 = 15°．

如图，作等腰直角△RMN，在直角边RM上取点G，使∠GNM = 15°，则∠RNG = 30°，

作GH⊥RN，垂足为H．设GH = 1，则 cos∠GNM = cos15° = MN．

∵ 在Rt△GHN中，NH = GN ? cos30°，GH = GN ? sin30°．

于是 RH = GH，MN = RN ? sin45°，∴ cos15° =　 ．

在图中，作OF⊥PC于E，

∴ PC = 2FD = 2 OC ?cos15° =　 ．