Question

如图14.1，在梯形ABCD中，AD//BC,点M、N分别在边AB、DC上，且MN//AD，记AD=a ,BC=b.

若 = ,则有结论：MN = .请根据以上结论，解答下列问题：

如图14.2、14.3，BE、CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P分别作△ABC三边的垂线段PP₁、PP₂、PP₃，交BC于点P₁，交AB于点P₂，交AC于点P₃ .

(1)若点P为线段EF的中点，求证： PP₁ = PP₂ + PP₃ ；

(2)若点P为线段EF上的任意点，试探究PP₁、PP₂、PP₃的数量关系，并给出证明。

Answer 1

解：（1）证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。

BE、CF分别为∠ABC、∠ACB的角平分线，EN=EM，FH=FG，

PP₂//EN，PP₃//FH，点P为线段EF的中点，PP₂=EN=EM,PP₃=FH=FG.

PP₁//FG//EM , , PP₁= = =FG+ EM = PP₂+ PP₃.

(2) PP₁= PP₂+ PP₃.

证明：过点E分别作BC、AB的垂线，垂足分别为M、N，过点F分别作BC、AC的垂线，垂足分别为G、H。

令FG = a ,EM = b, = , PP₁//FG//EM , PP₁= ；

EM=EN, = = ,PP₂= ·EN= ·EM=  ；

同理可得：PP₃ = ·FH = ·FG = ；+ = ,

PP₁= PP₂+ PP₃.