Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），sin∠CAB=

4

5

，E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．
（1）求AC和OA的长；
（2）设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；
（3）在（2）的条件下试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出OB、OC的长度，结合sin∠CAB=

4

5

，求出AC，在Rt△OAC中利用勾股定理可得出OA．
（2）AE=m，则BE=8-m，利用△BEF∽△BAC得出EF关于m的表达式，过点F作FG⊥AB，垂足为G，根据sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，求出FG，再由S=S_△BCE-S_△BFE即可得出答案．
（3）结合（2）的表达式，利用配方法求函数最值即可，算出m的值后可得出点E坐标，也可判断此时△BCE的形状．

解答：解：（1）∵点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8），
∴OB=2，OC=8，
在Rt△AOC中，sin∠CAB=

OC

AC

=

4

5

，
∴

8

AC

=

4

5

．
∴AC=10，
∴OA=

AC2-OC2

=

102-82

=6．

（2）依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

EF

AC

=

BE

AB

．即 

EF

10

=

8-m

8

，
∴EF=

40-5m

4

，
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=

4

5

，
∴

FG

EF

=

4

5

，
∴FG=

4

5

×

40-5m

4

=8-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(8-m)×8-

1

2

(8-m)(8-m)=-

1

2

m²+4m，
自变量m的取值范围是0＜m＜8．

（3）S存在最大值．
∵S=-

1

2

m²+4m=-

1

2

(m-4)2+8，且-

1

2

＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S_最大值=8，
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0），
∴△BCE为等腰三角形．

点评：本题考查了相似形综合题，涉及了三角函数、点的坐标与线段长度之间的转换，解答本题要求我们熟练掌握配方法求二次函数最值的关系，难度较大．