Question

如图1，⊙O的直径CD=4，AD⊥DC，BC⊥DC，AD=2，BC=6，P是⊙O上的一个动点．

(1)求证OA⊥AB；

(2)若△APB的面积记为S，求S的最大值与最小值，并分别指出此时P点所在的位置；

(3)若以P为圆心，BP长为半径作圆，是否存在⊙P与⊙O相切？请说明理由.

Answer 1

证明：（1）过A点作AE⊥BC于E，               1分

∵AD⊥DC，BC⊥DC∴  四边形ADCE为矩形      1分

  ∴ EC=AD=2  ∴BE=6-2=4  AE=DC=4

∴△ABE为等腰直角三角形∴∠B=45°         1分    

 ∵△ADO为等腰直角三角形  ∴∠AOD=45°

∴∠AOC=135°   ，根据四边形内角和为360°∴∠OAC=90°  ∴OA⊥AB     1分

（2） 设AO及延长线交圆于P_1、 P₂点，过P₁作P₁F∥AB交BC于F点，     

         ∵OA⊥AB ∴P₁到AB的距离最短，P₂到AB的距离最长        2分

  ∵  △ADO为等腰直角三角形  ∴AO=2  AP₁=2-2，AP₂=2+2    2分

由（1）可得AB=4，所以S的最小值为8+4，最大值为8-4      2分

  （3）不存在⊙P与⊙O相切      1分

   ∵ BO=，则BP的最大值为=+2，最小值为=-2，OP=2，    1分

  ∵P在圆上，所以两圆不可能外切                1分

   ∵两圆的半径之差的范围是，而d=2<,

∴不存在相切的可能性