Question

如图1，半圆的直径AB长为6，点C在AB上，以BC为一边向半圆内部作一正方形BCDE，连接AD并延长交半圆于F点，连接BF．设BC的长为x（0＜x＜3），AF的长为y，
（1）求y与x的函数关系式；
（2）当x=2时，
①求BF的长；
②如图2，若将AF沿直线AF翻折与直径AB交于点G，试求AG的长．

Answer 1

分析：（1）求y与x的函数关系式，可以通过证明△AFB∽△ACD，由相似比得出；
（2）①代入法求BF的长；
②求AG的长，将直径AB沿直线AF翻折过去，用面积法求得高B′H，再证明△AOI∽△AB′H得出．

解答：解：（1）∵AB长为6，BC的长为x
∴AC=6-x
∵∠A=∠A，∠AFB=∠ACD
∴△AFB∽△ACD
∴AF：AB=AC：AD
∴y=

6(6-x)

x2+(6-x)2

（2）①将x=2代入（1）得y=

12 5

5

，所以BF=

AB2-AF2

=

6

5

5

②△ABF的面积=

12 5

5

×

6

5

5

÷2=7.2
设AG=x，AG=AG′，BF=B′F，AB′•B′G′=B′F•BB′，AG=

18

5

．

点评：本题将函数与图形有机结合，考查了相似三角形的性质，圆的有关知识，翻折变换（折叠问题）的综合运用．