Question

已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H。
（1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：             ；
（2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由．如果成立请证明；
（3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长。（可利用（2）得到的结论）

Answer 1

解：（1）如图①AH=AB； （2）数量关系成立.如图②，延长CB至E，使BE=DN， ∵ABCD是正方形 ∴AB=AD，∠D=∠ABE=90° ∴Rt△AEB≌Rt△AND ∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ∴∠EAM=∠NAM=45° ∵AM=AM ∴△AEM≌△ANM ∵AB、AH是△AEM和△ANM对应边上的高， ∴AB=AH； （3）如图③分别沿AM、AN翻折△AMH和△ANH，得到△ABM和△AND ∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90° 分别延长BM和DN交于点C，得正方形ABCE， 由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD，                           设AH=x，则MC=x-2，NC=x-3                             在Rt△MCN中，由勾股定理，得                                     ∴ 解得（不符合题意，舍去） ∴AH=6。

图② 图③