Question

17．如图①，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，
（1）求∠EAF的度数；
（2）在图①中，连结BD分别交AE、AF于点M、N，将△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，连结
         MH，得到图②．求证：MN²=MB²+ND²；
（3）在图②中，若AG=12，BM=3$\sqrt{2}$，直接写出MN的值．

Answer 1

分析 （1）如图①，通过证明Rt△ABE≌Rt△AGE得到∠BAE=∠GAE，证明Rt△ADF≌Rt△AGF得到∠GAF=∠DAF，从而得到∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）如图②，先利用正方形的性质得∠ADB=∠ABD=45°，再利用旋转的性质得∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，则∠HAM=45°，于是可根据“SAS”证明△AHM≌△ANM，所以MN=MH，接着证明∠HBM=90°，然后根据勾股定理得到结论；
（3）利用正方形的性质得BD=12$\sqrt{2}$，设MN=x，则DN=9$\sqrt{2}$-x，然后利用MN²=MB²+ND²得到x²=（3$\sqrt{2}$）2+（9$\sqrt{2}$-x）²，然后解方程求出x即可．

解答 （1）解：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠BAD=90°，
∵AG⊥EF，
∴∠AGE=90°，
∵高AG与正方形的边长相等，
∴AG=AB=AD，
在Rt△ABE和△AGE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{AB=AG}\end{array}\right.$，
∴Rt△ABE≌Rt△AGE（HL），
∴∠BAE=∠GAE，
同理可得Rt△ADF≌Rt△AGF，
∴∠GAF=∠DAF，
∴∠EAF=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°；
（2）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵△ADN绕点A顺时针旋转90°至△ABH位置，如图②，
∴∠ABH=∠ADN=45°，∠HAN=90°，AH=AN，BH=DN，
∵∠EAF=45°，
∴∠HAM=45°，
在△AMH和△AMN中
$\left\{\begin{array}{l}{AM=AM}\\{∠HAM=∠NAM}\\{AH=AN}\end{array}\right.$
∴△AHM≌△ANM，
∴MN=MH，
∵∠HBM=∠ABH+∠ABD=90°，
∴MH²=MB²+HB²，
∴MN²=MB²+ND²；
（3）解：∵AB=AG=12，
∴BD=12$\sqrt{2}$，
设MN=x，则DN=12$\sqrt{2}$-3$\sqrt{2}$-x=9$\sqrt{2}$-x，
由（2）得，MN²=MB²+ND²，
∴x²=（3$\sqrt{2}$）2+（9$\sqrt{2}$-x）²，解得x=5$\sqrt{2}$，
即MN的长为5$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握旋转的性质和正方形的性质；会利用全等三角形的知识解决线段或角相等的问题；会运用勾股定理计算线段的长；学会利用前面小题的结论解决后面小题．