Question

已知在等腰△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC，求BC的长．

Answer 1

考点：黄金分割,等腰三角形的性质

专题：计算题

分析：先根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算出∠ABC=∠C=72°，再利用角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，易得AD=BD=CB，再证明△ABC∽△BDC，根据相似的性质得BC：DC=AC：BC，用等线段代换得AD：DC=AC：AD，然后根据黄金分割的定义求解．

解答：解：∵AB=AC=1，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=

1

2

（180°-36°）=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=36°，
∴DA=DB，
∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴BD=BC，
∴AD=BC，
∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴BC：DC=AC：BC，
∴AD：DC=AC：AD，
∴点D为AC的黄金分割点，
∴AD=

5 -1

2

AB=

5 -1

2

，
∴BC

5 -1

2

．

点评：本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC=AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=

5 -1

2

AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．