Question

19．如图，边长为2的正方形ABCD内接于⊙O，过点D作⊙O的切线交BA延长线于点E，连接EO，交AD于点F，则EF长为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• B． $\frac{2\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{3}$
• D． $\frac{2\sqrt{10}}{3}$

Answer 1

分析 由切线以及正方形的性质证明AE=AD=2，勾股定理可求得OE，根据平行线分线段成比例定理可证得EF=2OF，则EF=$\frac{2}{3}$OE，由此即可解决问题．

解答 解：如图2，作OM⊥AB于M，

∵AD是⊙O的切线，
∴∠EDO=90°，
∵O为正方形的中心，
∴M为AB中点，∠ADO=45°，
∴∠ADE=∠AED=45°，
∴AE=AD=2，
∴AE=AB=2AM，
∵AF∥OM，
∴$\frac{EF}{FO}$=$\frac{EA}{AM}$=2，
∴EF=2FO，EF=$\frac{2}{3}$EO，
∵OE=$\sqrt{E{M}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴EF=$\frac{2\sqrt{10}}{3}$，
故选D．

点评 本题主要考查切线的性质及正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识，掌握切线的性质是解题的关键，求得EF=2OF是解题的关键．