Question

如图，△ABC中，AB＝BC＝5，AC＝6，过点A作AD∥BC，点P、Q分别是射线AD、线段BA上的动点，且AP＝BQ，过点P作PE∥AC交线段AQ于点O，联接PQ，设△POQ面积为y，AP＝x．

(1)用x的代数式表示PO；

(2)求y与x的函数关系式，并写出定义域；

(3)联接QE，若△PQE与△POQ相似，求AP的长．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵AD∥BC，PE∥AC 　　∴四边形APEC是平行四边形　1分 　　∴AC＝PE＝6，AP＝EC＝x　1分 　　，　1分 　　可得　1分 　　(2)∵AB＝BC＝5，∴∠BAC＝∠BCA 　　又∠APE＝∠BCA，∠AOP＝∠BCA， 　　∴∠APE＝∠AOP，∴AP＝AO＝ 　　∴当时，；　1分 　　作BF⊥AC，QH⊥PE，垂足分别为点F、H， 　　则易得AF＝CF＝3，AB＝5，BF＝4 　　由∠OHQ＝∠AFB＝90°，∠QOH＝∠BAF 　　得△OHQ∽△AFB 　　∴，∴，∴　2分 　　　1分 　　所以y与x的函数关系式是 　　　1分 　　(3)解法一： 　　当时 　　由AP＝BQ＝x，AQ＝BE＝5－x，∠PAQ＝∠QBE 　　可得△PAQ≌△QBE，于是PQ＝QE　1分 　　由于∠QPO＝∠EPQ， 　　所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ 　　可得OP＝OQ　1分 　　于是得，解得　2分 　　同理当，可得(不合题意，舍去)　1分 　　所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为． 　　解法二：当时， 　　可得，于是得， 　　　1分 　　由于∠QPO＝∠EPQ， 　　所以若△PQE与△POQ相似，只有△PQE∽△POQ 　　　1分 　　 　　解得，(不合题意，舍去)　2分 　　所以，若△PQE与△POQ相似，AP的长为．　1分