Question

【题目】如图，在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是______．

Answer 1

【答案】4

【解析】

从已知条件结合图形认真思考，通过构造全等三角形，利用三角形的三边的关系确定线段和的最小值．

解：如图，在AC上截取AE=AN，连接BE、ME．

∵∠BAC的平分线交BC于点D，

∴∠EAM=∠NAM，

在△AME与△AMN中， ，

∴△AME≌△AMN（SAS），

∴ME=MN．

∴BM+MN=BM+ME≥BE．

∵BM+MN有最小值．

当BE是点B到直线AC的距离时，BE⊥AC，

又AB=4，∠BAC=45°，此时，△ABE为等腰直角三角形，

∴BE=4，

即BE取最小值为4，

∴BM+MN的最小值是4．

故答案为：4．