定义:若抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形.则称这条抛物线为“直角抛物线．(1)抛物线y=x2-1 直角抛物线,(2)如图.直角抛物线y=x2+4x+c与x轴交于点A.B.与y轴交于点C.顶点为P．①求c的值,②在x轴上是否存在点Q.使得以A.Q.C为顶点的三角形与△APB相似?若存在.求出点Q的坐标,若不存在.请说明理由,中的抛物线解析式.试猜想:在� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

定义：若抛物线y=ax²+bx+c与x轴的两个交点和顶点构成直角三角形，则称这条抛物线为“直角抛物线”．
（1）抛物线y=x²-1

直角抛物线（填“是”或“不是”）；
（2）如图，直角抛物线y=x²+4x+c与x轴交于点A、B（A在B的左侧），与y轴交于点C，顶点为P．
①求c的值；
②在x轴上是否存在点Q，使得以A、Q、C为顶点的三角形与△APB相似？若存在，
求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）观察（1）、（2）中的抛物线解析式，试猜想：在直角抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是否为定值？若是，请直接写出该定值．（不要求说理）

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）根据解析式得出图象与坐标轴交点，进而得出三角形形状；
（2）①首先表示出AB的长，进而得出P点坐标，由AB²=（2PD）²=4PD²，即可得出c的值；
②（Ⅰ）当∠AQC=90°，且QA=QC时，△AQC∽△APB，（Ⅱ）当∠ACQ=90°，且CQ=CA时，进而得出Q点坐标；
（3）利用（1）（2）进而求出b²-4ac的值进而得出答案．

解答：

解：（1）∵抛物线y=x²-1，与x轴交于点（1，0），（-1，0），顶点坐标为：（0，-1），
∴三点构成的三角形三边为：

，

，2，
∵（

）²+（

）²=2²，
∴此三角形是直角三角形；
故答案为：是；

（2）①如图1，作PD⊥x轴于D．
当y=0时，x²+4x+c=0，
解得：x₁=-2+

4-c

，x₂=-2-

4-c

，
∴AB=x₁-x₂=2

4-c

，
∵y=x²+4x+c=（x+2）²+c-4，
∴P（-2，c-4），
∵4-c＞0，
∴c＜4，
∴PD=4-c．
由抛物线的对称性知，PA=PB．
∵PD⊥AB，
∴DA=DB，
∵∠APB=90°，∴∠APB=90°，
∴AB=2PD，
∴AB²=（2PD）²=4PD²，
∴4（4-c）=4（4-c）²．
∵4-c≠0，
∴4-c=1，
∴c=3．

②由①知，A（-3，0），B（-1，0），C（0，3），
∴OC=OA=3．
解法一：
∵△APB是等腰直角三角形，点Q在x轴上，

（Ⅰ）当∠AQC=90°，且QA=QC时，△AQC∽△APB，
此时点Q与点O重合，
∴Q（0，0）．
（Ⅱ）当∠ACQ=90°，且CQ=CA时，
△ACQ∽△APB，
此时点Q与点A关于y轴对称，
∴Q（3，0）．
解法二：
∵∠CAO=∠BAP=45°，AP=

，AC=3

，
（Ⅰ）当

时，△AQC∽△APB，

∴

，
∴AQ=3，
∴Q（0，0），
（Ⅱ）当

时，
△ACQ∽△APB，
则

，
∴AQ=6，
∴Q（3，0）．
综上所述，在x轴上存在点Q （0，0）或（3，0），使得以A、Q、C为顶点的三角形与△APB相似．

（3）b²-4ac是定值，
∵y=x²-1中，b²-4ac=4，y=x²+4x+3中，b²-4ac=4，
∴在直角抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）中，b²-4ac是定值，为4．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和相似三角形的判定与性质等知识，利用分类讨论得出是解题关键．