Question

如图，Rt△OAB∽Rt△BCD，斜边都在x轴上，tan∠AOB=2，AB=6

5

，双曲线y=

k

x

（x＞0）与AO交于点E、交BC于点F，且OE=2AE，
CF=2BF，则反比例函数解析式是

 

，点C的坐标是

 

．

Answer 1

考点：几何变换综合题

专题：

分析：利用锐角三角函数关系进而得出AO，EO的长，再利用勾股定理得出EN的值，得出E点坐标即可得出函数解析式，再利用反比例函数图象上点的坐标性质得出F点坐标，再利用相似三角形的性质得出C点坐标即可．

解答：解：分别过点E、A、F、C作EN⊥x轴，AM⊥x轴，FQ⊥x轴，CS⊥x轴于点N，M，Q，S．
∵Rt△OAB，tan∠AOB=2，
∴

EN

NO

=

AB

AO

=2，
∵AB=6

5

，
∴AO=3

5

，
∵OE=2AE，
∴EO=2

5

，
设NO=x，则EN=2x，
由勾股定理得出：x²+（2x）²=（2

5

）²，
解得：x₁=2，x₂=-2（不合题意舍去），
则EN=4，
故E点坐标为：（2，4），
则xy=k=2×4=8，
故双曲线为：y=

8

x

；
∵AO=3

5

，AB=6

5

，
∴BO=

(3 5 )2+(6 5 )2

=15，
∵Rt△OAB∽Rt△BCD，tan∠AOB=2，
∴tan∠FBQ=

FQ

BQ

=2，
设BQ=y，则FQ=2y，
故BQ=15+y，FQ=2y，
则QO×FQ=8，
即（15+y）×2y=8，
解得：y₁=

-15+ 241

2

，y₂=

-15- 241

2

（不合题意舍去），
则FQ=-15+

241

，
∵FQ∥CS，CF=2BF，
∴

BQ

BS

=

FQ

CS

=

BF

BC

=

1

3

，
∴CS=-45+3

241

，BS=

-45+3 241

2

，
则OS=15+

-45+3 241

2

=

3 241 -15

2

，
故C点坐标为：(

3 241 -15

2

，3

241

-45)．
故答案为：y=

8

x

，（

3 241 -15

2

，3

241

-45）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，得出E点坐标是解题关键．