Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，，，分别是，轴上的点，且，，为线段的中点，，为轴正半轴上的任意一点，连结，以为边按顺时针方向作正方形．

（1）填空：点的坐标为______；

（2）记正方形的面积为，①求关于的函数关系式；②当时，求的值．

（3）是否存在满足条件的的值，使正方形的顶点或落在的边上？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（1）．（2）①．②．（3），21，3，．

【解析】

（1）根据点C的坐标和正弦的定义即可求出AC，利用勾股定理即可求出OA，从而求出结论；

（2）①过点作轴于点，易证DH为的中位线，根据三角形中位线的性质可得，，，然后根据正方形的面积公式和勾股定理即可求出结论；

②易知此时点即为正方形的中心，从而得出,从而求出a的值，结合①的结论即可求出S；

（3）根据点F和点G落在的各边分类讨论，分别画出对应的图形，根据全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质即可分别求出结论．

解：（1）∵，

∴OC=8，

解得：AC=10

根据勾股定理可得OA=

∵点A在x轴负半轴上

∴

故答案为：．

（2）①如图，过点作轴于点，

∵为线段的中点，DH⊥y轴，AO⊥y轴

∴DH∥AO

∴DH为的中位线

∴，

∴，

∴．

②当时，点即为正方形的中心，

∴，

∴，

∴．

（3）①当点落在边上时，如图，过点D作DM⊥y轴于M，过点F作FN⊥y轴于N

∴∠EMD=∠FNE=90°

∵四边形DGFE为正方形

∴ED=FE，∠DEF=90°

∴∠DEM＋∠FEN=90°，∠EFN＋∠FEN=90°

∴∠DEM=∠EFN

∴≌

∴，

∵，，

∴，

∵FN平行OB

∴∽，

∴，

∴，

∴．

②当点落在边上时，如图，过点D作DM⊥y轴于M，过点G作GQ⊥x轴于Q，QG的延长线于DM的延长线交于点N

∴∠EMD=∠DNG=90°

∵四边形DGFE为正方形

∴ED=DG，∠EDG=90°

∴∠DEM＋∠EDN=90°，∠GDN＋∠EDN =90°

∴∠DEM=∠GDN

∴≌

∴，，

∴，

∴tanB=

∴

∴，

∴，

又∵，

∴．

③当点落在边上时，如图，过点D作DM⊥y轴于点M

∴∠EMD=∠FOE=90°

∵四边形DGFE为正方形

∴ED=FE，∠DEF=90°

∴∠DEM＋∠FEO=90°，∠EFO＋∠FEO=90°

∴∠DEM=∠EFO

∴≌

∴，即．

④当点落在边上时，如图，

∵∠CDE=∠COA=90°，∠DCE=∠OCA

∴∽

∴，

∴，

得．

综上，所有满足条件的的值有四个：，21，3，．