Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交点，抛物线过两点，与轴交于另一点．

（1）求抛物线的解析式及点的坐标；

（2）在直线上方的抛物线上是否存在点，使与的交点恰好为的中点？如果存在，求出点的坐标，如果不存在，说明理由．

（3）若点在抛物线上且横坐标为，点是抛物线对称轴上一点，在抛物线上存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（1，0） （2）不存在；答案见解析 （3）或或

【解析】

（1）先根据直线求出点A、C的坐标，再将点A、C的坐标代入抛物线，解方程组求得b、c的值即可得抛物线解析式，令

解方程即可点B的坐标；

（2）先假设点存在，设点，再过点作轴于点，过点作轴于点易知，且，继而可求得点F的坐标，由EH＝2FG，，判定方程有无实数根即可判断是否存在点E，使与的交点恰好为的中点；

（3）先求得点E的坐标和点N的横坐标，再分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况，其中EB为平行四边形的边时，再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得．

解:（1）在中，当时

当时

抛物线的图象经过两点，

，

解得，

抛物线的解析式为；

令

解得

；

（2）不存在点使点为的中点，

理由是:如果点存在，设点的横坐标为

如图，过点作轴于点，过点作轴于点

则

，

，

点的横坐标为，

，

∵EH＝2FG，

，

方程无实数根，

满足条件的点不存在；

（3）或或

点在对称轴上，

，

将代入

得: ，

，

①当为平行四边形的边时，分两种情况：

点在对称轴右侧时，为对角线，

，

当时，

；

点在对称轴左侧时，为对角线，

，

当时，

，

②当为平行四边形的对角线时，

，

当时，

；

综上所述，的坐标为或或．