Question

12．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），顶点为点B，点P为抛物线上的一个动点，l是过点（0，2）且垂直于y轴的直线，过P作PH⊥l，垂足为H，连接PO．
（1）求抛物线的解析式，并写出其顶点B的坐标；
（2）①当P点运动到A点处时，计算：PO=5，PH=5，由此发现，PO=PH（填“＞”、“＜”或“=”）；
②当P点在抛物线上运动时，猜想PO与PH有什么数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图2，设点C（1，-2），问是否存在点P，使得以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法即可解决问题．
（2）①求出PO、PH即可解决问题．
②结论：PO=PH．设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），利用两点之间距离公式求出PH、PO即可解决问题．
（3）首先判断PH与BC，PO与AC是对应边，设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），由$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{BA}$列出方程即可解决问题．

解答 （1）解：∵抛物线y=ax²+1经过点A（4，-3），
∴-3=16a+1，
∴a=-$\frac{1}{4}$，
∴抛物线解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+1，顶点B（0，1）．
（2）①当P点运动到A点处时，∵PO=5，PH=5，
∴PO=PH，
故答案分别为5，5，=．
②结论：PO=PH．
理由：设点P坐标（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），
∵PH=2-（-$\frac{1}{4}$m²+1）=$\frac{1}{4}$m²+1
PO=$\sqrt{{m}^{2}+（-\frac{1}{4}{m}^{2}+1）^{2}}$=$\frac{1}{4}$m²+1，
∴PO=PH．
（3）∵BC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，AB=$\sqrt{{4}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{2}$
∴BC=AC，
∵PO=PH，
又∵以P，O，H为顶点的三角形与△ABC相似，
∴PH与BC，PO与AC是对应边，
∴$\frac{PH}{HO}$=$\frac{BC}{BA}$，设点P（m，-$\frac{1}{4}$m²+1），
∴$\frac{\frac{1}{4}{m}^{2}+1}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4\sqrt{2}}$，
解得m=±1，
∴点P坐标（1，$\frac{3}{4}$）或（-1，$\frac{3}{4}$）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是记住两点之间的距离公式，学会转化的思想，用方程去解决问题，属于中考压轴题．