Question

【题目】如图正方形的顶点是和上的动点，与交于P、Q两点，.

（1）当时，

①求的度数；

②求以为边长的正方形面积；

（2）当在上运动时，始终保持，连接，则面积的最小值为 （直接写出答案）．

Answer 1

【答案】（1）①，②以为边的正方形面积为；（2）．

【解析】

（1）根据正方形性质得出，，由此得知，然后根据AB=AQ=CP，结合等腰三角形性质以及三角形内角和定理进一步求出答案即可；

（2）首先根据勾股定理求出，由此得出，通过证明进一步得出，据此即可得出答案；

（3）延长至点，使，连接，先证明与全等，得出∠GBF=∠EBF，再证明与全等，从而得出，即当时，取得最小值，设此时，则，根据题意利用勾股定理得出，最后得出，，据此进一步求解即可.

（1）①∵四边形为正方形，

∴，，

∴，

∵AB=AQ=CP，

∴AB=AQ=CP=BC，

∴，

同理，

∴；

②∵，，

∴，

∴，

又∵，，

∴，

∴，

即，

故以为边的正方形面积为；

（2）如图，延长至点，使，连接，

在与中，

∵

∴

∴，，

∴，

∴∠GBF=∠EBF，

在与中，

∵

∴

∴，

在中，，

当且仅当时等号成立，此时，

设此时，则，

由得：

即

解得（舍去），

∴，，

∴面积的最小值=，

故答案为：.