题目内容

在直角三角形ABC中，∠A=60°，∠C=90°，AC=100，P、Q两点同时从A点出发，P点以每秒3个单位的速度沿AC方向运动，Q点以每秒4个单位的速度沿AB方向运动，P点到达C点或Q点到达B点时，整个运动停止．设P、Q两点运动t秒后，线段PQ的长l．
（1）写出l与t之间的函数关系式，自变量的取值范围；
（2）画出函数图象；
（3）当t为何值时，PQ的长等于 $数学公式$ ．

解：（1）如图，

AB= $\text{[math]}$ =200，
AP=3t，AQ=4t，
作QH⊥AP，垂足为H，
在直角三角形AQH中，
AH=AQ•cos60°=2t，
QH=AQ•sin60°=2 $\text{[math]}$ t，
∴PH=AP-AH=3t-2t=t，
在直角三角形PQH中，
PQ= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ t；
P在AC上运动时间 $\text{[math]}$ 秒，
Q在AB上运动时间 $\text{[math]}$ =50秒，
P点到达C点或Q点到达B点时，整个运动停止，
所以t的取值范围为（0＜t≤ $\text{[math]}$ ），
即l= $\text{[math]}$ t（0＜t≤ $\text{[math]}$ ）；
（2）如图

（3）PQ= $\text{[math]}$ =100，
即 $\text{[math]}$ t=100，
t= $\text{[math]}$ ；
当t= $\text{[math]}$ 秒时，PQ的长等于 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）首先求出AB=2AC=200，点Q和点P分别在边上运动的时间确定t取值范围，作QH⊥AP，垂足为H，利用勾股定理求得结论；
（2）利用所求函数找出关键点，画出图象即可；
（3）求出PQ的值，代入函数解决问题．
点评：此题考查动点问题求函数解析式：结合图形利用锐角三角函数或勾股定理是解决问题的关键．