Question

如图，已知四边形ABCD是面积为a的任意四边形，顺次连接各边中点得到四边形A₁B₁C₁D₁，再顺次连接各边中点得到四边形A₂B₂C₂D₂，重复同样的方法直至得到四边形A_nB_nC_nD_n．
（1）请直接写出四边形A₁B₁C₁D₁、A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃的面积（用含a的代数式表示）；
（2）根据以上的规律写出四边形A_nB_nC_nD_n的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AC，根据三角形中位线定理，以及相似三角形面积的比等于相似比的平方，可得△A₁BB₁的面积=

1

4

△ABC的面积，△D₁DC₁的面积=

1

4

△ACD的面积，所以△A₁BB₁的面积+△D₁DC₁的面积=

1

4

四边形ABCD的面积，同理可得△A₁AD₁的面积+△B₁CC₁的面积=

1

4

四边形ABCD的面积，所以△A₁BB₁的面积+△D₁DC₁+△A₁AD₁的面积+△B₁CC₁的面积=

1

2

四边形ABCD的面积，从而得到四边形A₁B₁C₁D₁的面积=

1

2

四边形ABCD的面积，同理可得A₂B₂C₂D₂、A₃B₃C₃D₃的面积；
（2）以此类推，根据后一个四边形的面积是前一个四边形的面积的

1

2

，利用此规律写出即可．

解答：解：（1）如图，连接AC，∵A₁、B₁分别是AB、BC的中点，
∴A₁B₁∥AC，且A₁B₁=

1

2

AC，
∴△A₁BB₁∽△ABC，
∴S_△A1BB1=

1

4

S_△ABC，
同理，S_△D1DC1=

1

4

S_△ACD，
∴S_△A1BB1+S_△D1DC1=

1

4

S_{四边形ABCD}，
同理可得，S_△A1AD1+S_△B1CC1=

1

4

S_{四边形ABCD}，
∴S_△A1BB1+S_△D1DC1+S_△A1AD1+S_△B1CC1=

1

4

S_{四边形ABCD}+

1

4

S_{四边形ABCD}=

1

2

S_{四边形ABCD}，
∴S_{四边形A1B1C1D1}=

1

2

S_{四边形ABCD}=

1

2

a，
同理可得：S_{四边形A2B2C2D2}=

1

2

S_{四边形A1B1C1D1}=

1

2

×

1

2

a=

1

4

a，
S_A3B3C3D3=

1

2

S_{四边形A2B2C2D2}=

1

2

×

1

4

a=

1

8

a；

（2）根据（1）的规律，后一个四边形的面积是前一个四边形的面积的

1

2

，
∴四边形A_nB_nC_nD_n的面积是：（

1

2

）ⁿa．

点评：本题主要考查了三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，相似三角形面积的比等于相似比的平方，推出后一个四边形的面积等于前一个四边形的面积的一半是解题的关键．