Question

如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是梯形，BC∥AD，∠BAD＋∠CDA＝90°，且tan∠BAD＝2，AD在x轴上，点A的坐标(－1，0)，点B在y轴的正半轴上，BC＝OB．

(1)求过点A、B、C的抛物线的解析式；

(2)动点E从点B(不包括点B)出发，沿BC运动到点C停止，在运动过程中，过点E作EF⊥AD于点F，将四边形ABEF沿直线EF折叠，得到四边形A₁B₁EF，点A、B的对应点分别是点A₁、B₁，设四边形A₁B₁EF与梯形ABCD重合部分的面积为S，F点的坐标是(x，0)．

①当点A₁落在(1)中的抛物线上时，求S的值；

②在点E运动过程中，求S与x的函数关系式．

Answer 1

答案：
解析：

(1)△ABO中∠AOB＝90°tanA＝＝2， 　　∵点A坐标是(－1，0)， 　　∴OB＝2． 　　∴点B的坐标是(0，2)． 　　∵BC∥AD，BC＝OB， 　　∴点C的坐标是(2，2)． 　　设抛物线表达式为y＝ax2＋bx＋2， 　　∵点A(－1，0)和点C(2，2)在抛物线上， 　　∴ 　　∴解得 　　∴y＝－x2＋x＋2． 　　(2)①当点A1落在抛物线上，根据抛物线的轴对称性可得A1与点A关于对称轴对称，由沿直线EF折叠，所以点E是BC中点， 　　重合部分面积就是梯形ABEF的面积． 　　∴S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)×BO＝2x＋1． 　　②当0＜x≤1时，重合部分面积就梯形ABEF的面积， 　　由题得AF＝x＋1，BE＝x， 　　S＝S梯形ABEF＝(BE＋AF)×BO＝2x＋1． 　　方法一：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1NCEF的面积， 　　设A1B1交CD于点N，作MN⊥DF于点N，CK⊥AD于点K， 　　△NMA1∽△DMN， 　　＝， 　　∵∠BAO＝∠MA1N，tan∠BAO＝2， 　　∴tan∠MA1N＝2． 　　∴MA1＝MN，MD＝2MN． 　　∵tan∠BAO＝2，∠BAO＋∠CDK＝90°， 　　∴tan∠CDK＝． 　　在△DCK中，∠CKD＝90°，CK＝OB＝2， 　　tan∠CDK＝＝， 　　∴DK＝4，OD＝6． 　　∵OF＝x，A1F＝x＋1， 　　∴A1D＝OD－OF－A1F＝5－2x，FD＝6－x． 　　∴MN＝(5－2x)． 　　∴S＝S梯形DCEF－S△A1ND＝8－2x－(5－2x)2＝－x2＋x－． 　　方法二：当1＜x≤2时，重合部分面积就是五边形形A1MCEF的面积， 　　设A1B1交CD于点M，作MN⊥B1C交CB1延长线于点N， 　　由题得A1F＝x＋1，B1E＝x， 　　∴CE＝2－x，B1C＝2x－2． 　　∵BC∥AD， 　　∴∠A1B1N＝∠B1A1A，∠ADC＝∠DCB1． 　　∵∠BAO＝∠B1A1A，tan∠BAO＝2，∠ADC＋∠BAO＝90°， 　　∴tan∠A1B1N＝2＝，tan∠DCB1＝＝． 　　∴B1N＝MN，NC＝2MN． 　　∵NC－B1N＝CB1＝2x－2， 　　∴MN＝(x－1)， 　　∴S＝S梯形A1B1EF－S△B1CM＝2x＋1－(x－1)2＝－x2＋x－．