题目内容
已知：如图，⊙O和⊙A相交于C、D，圆心A在⊙O上，过A的直线与CD、⊙A、⊙O分别交于F、E、B．求证：（1）△AFC∽△ACB； （2）AE2=AF•AB．
分析：（1）利用圆周角定理，即可得出∠ACD=∠B．∠A=∠A，从而可推出△AFC∽△ACB；
（2）由（1）知，△AFC∽△ACB利用相似三角形的性质即可得出．
（2）由（1）知，△AFC∽△ACB利用相似三角形的性质即可得出．
解答：
证明：连接AD，
（1）∵AC=AD=AE，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△AFC∽△ACB；
（2）由（1）知：
△AFC∽△ACB，
即
=
，
即AC2=AF•AB．
∵AE=AC，
∴AE2=AF•AB．
证明：连接AD，（1）∵AC=AD=AE，
∴AC=AD，
∴∠ACD=∠D，
∵∠D=∠B，
∴∠ACD=∠B，
∵∠A=∠A，
∴△AFC∽△ACB；
（2）由（1）知：
△AFC∽△ACB，
即
| AC |
| AB |
| AF |
| AC |
即AC2=AF•AB．
∵AE=AC，
∴AE2=AF•AB．
点评：此题考查的是圆与圆的位置关系和相似三角形的判定，属于基础性题目．
练习册系列答案
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