Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，且∠EDF=45°，求证：AE+EF=FC．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：连接AD，在CA上找到点G使得CG=AE，易证△ADE≌△CDG，可得∠ADE=∠CDG，DE=DG，AE=CG，即可求得∠FDG=45°，即可证明△EDF≌△GDF，可得EF=FG，即可解题．

解答：证明：连接AD，在CA上找到点G使得CG=AE，

∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD，
在△ADE和△CDG中，

AE=CG ∠BAD=∠C AD=CD

，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠ADE=∠CDG，DE=DG，AE=CG，
∵∠ADE+∠ADF=90°，
∴∠ADF+∠CDG=90°，
∴∠FDG=45°，
在△EDF和△GDF中，

DE=DG ∠EDF=∠GDF DF=DF

，
∴△EDF≌△GDF（SAS），
∴EF=FG，
∵FC=FG+CG，
∴FC=EF+AE．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△ADE≌△CDG和△EDF≌△GDF是解题的关键．