Question

数学课上，老师出示了如下框中的题目

小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答：
（1）特殊情况•探索结论
当点E为AB的中点时，如图1，确定线段AE与DB的大小关系．请你直接写出结论：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）．

（2）特例启发，解答题目
解：题目中，AE与DB的大小关系是：AE

 

DB（填“＞”，“＜”或“=”）理由如下：如图2，过点E作EF∥BC，交AC于点F，（请你接着继续完成以下解答过程）
（3）拓展结论，设计新题
在等边三角形ABC中，点E在直线上AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若△ABC的边长为3，AE=5，求CD的长（请你直接写出结果）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理求出∠D=∠ECB=30°，求出∠D=∠DEB，求出DB=BE，BE=AE，即可得出答案；
（2）作EF∥BC，证△DBE≌△EFC，推出AE=EF=DB，即可得出答案；
（3）分为四种情况：画出图形，根据等边三角形的性质求出CD即可．

解答：解：（1）答案为：=．

（2）答案为：=．
证明：在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，
∴∠AEF=∠AFE=∠BAC=60°，
∴AE=AF=EF，
∴AB-AE=AC-AF，
即BE=CF，
∵∠ABC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∵ED=EC，
∴∠EDB=∠ECB，
∵∠EBC=∠EDB+∠BED，∠ACB=∠ECB+∠FCE，
∴∠BED=∠FCE，
在△DBE和△EFC中

ED=BC ∠DEB=∠ECF EB=FC

，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴DB=EF，
∴AE=BD，
故答案为：=．

（3）解：分为四种情况：
第一种情况：如图1：

∵AB=AC=3，AE=5，
∴B是AE的中点，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=3，△ACE是直角三角形（根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），
∴∠ACE=90°，∠AEC=30°，
∴∠D=∠ECB=∠BEC=30°，∠DBE=∠ABC=60°，
∴∠DEB=180°-30°-60°=90°，
即△DEB是直角三角形．
∴BD=2BE=4（30°所对的直角边等于斜边的一半），
即CD=3+4=7．
第二种情况：如图2，


过A作AN⊥BC于N，过E作EM⊥CD于M，
∵等边三角形ABC，EC=ED，
∴BN=CN=

1

2

BC=

3

2

，BM=

1

2

BE=

1

2

×（3+5）=4，CM=MD=4-3=1，AN∥EM，
∴CD=2CM=2；
第三种情况：如图3，

∵∠ECD＞∠EBC（∠EBC=120°），而∠ECD不能大于120°，否则△EDC不符合三角形内角和定理，
∴此时不存在EC=ED；

第四种情况：如图4，

∵∠EDC＜∠ABC，∠ECB＞∠ACB，
又∵∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠ECD＞∠EDC，
即此时ED≠EC，
∴此时情况不存在，
答：CD的长是7或2．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，等边三角形的性质和判定的理解和运用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键．