Question

如图，抛物线y=﹣x²+2x+3与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为D．

（1）直接写出A、B、C三点的坐标和抛物线的对称轴；

（2）连接BC，与抛物线的对称轴交于点E，点P为线段BC上的一个动点，过点P作PF∥DE交抛物线于点F，设点P的横坐标为m；

①用含m的代数式表示线段PF的长，并求出当m为何值时，四边形PEDF为平行四边形？

②设△BCF的面积为S，求S与m的函数关系式．

（3）在抛物线上是否存在点G，使△DGB为直角三角形？若存在，请直接写出G点的坐标；若不存在，请说明理由．

　

　

Answer 1

解：（1）令y=0，则﹣x²+2x+3=﹣（x+1）（x﹣3）=0，

解得x=﹣1或x=3，则A（﹣1，0），B（3，0）．

抛物线的对称轴是：直线x=1．

令x=0，则y=0，则C（0，3）．

综上所述，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），抛物线的对称轴是x=1；

（2）①设直线BC的函数关系式为：y=kx+b．

把B（3，0），C（0，3）分别代入得：，

解得：．

所以直线BC的函数关系式为：y=﹣x+3．

当x=1时，y=﹣1+3=2，

∴E（1，2）．

当x=m时，y=﹣m+3，

∴P（m，﹣m+3）．

在y=﹣x²+2x+3中，当x=1时，y=4．

∴D（1，4）

当x=m时，y=﹣m²+2m+3，

∴F（m，﹣m²+2m+3）

∴线段DE=4﹣2=2，

线段PF=﹣m²+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m²+3m

∵PF∥DE，

∴当PF=ED时，四边形PEDF为平行四边形．

由﹣m²+3m=2，

解得：m₁=2，m₂=1（不合题意，舍去）．

因此，当m=2时，四边形PEDF为平行四边形．

②设直线PF与x轴交于点M，由B（3，0），O（0，0），

可得：OB=OM+MB=3．

∵S=S_△BPF+S_△CPF

即S=PF•BM+PF•OM=PF•（BM+OM）=PF•OB．

∴S=×3（﹣m²+3m）=﹣m²+m（0≤m≤3）．

（3）∵点B（3，0），D（1，4），

∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6，

Ⅰ：当以BD为直角边且B为顶点时，设直线BG₁的解析式为y=x+b，

∵经过B（3，0），

∴直线BG₁的解析式为y=x﹣，

∴x﹣=﹣x²+2x+3，

解得：x=﹣或x=3（舍去），

将x=﹣代入y=﹣x²+2x+3得y=，

∴G₁的坐标为（﹣，）；

Ⅱ：当以BD为直角边且D为顶点时，设直线BG₂的解析式为y=x+b，

∵经过D（1，4），

∴直线BG₂的解析式为y=x+，

∴x+=﹣x²+2x+3，

解得：x=或x=1（舍去），

将x=代入y=﹣x²+2x+3得y=，

∴G₂的坐标为（，）；

Ⅲ：当以BD为斜边时，设G₃的坐标为（x，﹣x²+2x+3），

如图，则BM=3﹣x，G₃M=﹣x²+2x+3，NG₃=4﹣（﹣x²+2x+3）=x²﹣2x+1，DN=1﹣x，

∵BG₃²+G₃D²=BD²，

即：BM²+G₃M²+NG₃²+DN²=BD²，

∴（3﹣x）²+（﹣x²+2x+3）²+（x²﹣2x+1）²+（1﹣x）²=20，

解得：x=1或3（均舍去），

综上：点G的坐标为（﹣，）、（，）；