Question

如图，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a，以斜边AB上的点O为圆心的圆分别与AC，BC相切于点E，F，与AB分别交于点G，H，且EH的延长线和CB的延长线交于点D，则CD的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质,切割线定理,相似三角形的性质

专题：压轴题

分析：连接OE、OF，由切线的性质结合结合直角三角形可得到正方形OECF，并且可求出⊙O的半径为0.5a，则BF=a-0.5a=0.5a，再由切割线定理可得BF²=BH•BG，利用方程即可求出BH，然后又因OE∥DB，OE=OH，利用相似三角形的性质即可求出BH=BD，最终由CD=BC+BD，即可求出答案．

解答：解：如图，连接OE、OF，
∵由切线的性质可得OE=OF=⊙O的半径，∠OEC=∠OFC=∠C=90°，
∴OECF是正方形，
∵由△ABC的面积可知

1

2

×AC×BC=

1

2

×AC×OE+

1

2

×BC×OF，
∴OE=OF=

1

2

a=EC=CF，BF=BC-CF=0.5a，GH=2OE=a，
∵由切割线定理可得BF²=BH•BG，
∴

1

4

a²=BH（BH+a），
∴BH=

-1+ 2

2

a或BH=

-1- 2

2

a（舍去），
∵OE∥DB，OE=OH，
∴△OEH∽△BDH，
∴

OE

OH

=

BD

BH

，
∴BH=BD，CD=BC+BD=a+

-1+ 2

2

a=

1+ 2

2

a．
故答案为：

1+ 2

2

a．

点评：考查了切线的性质，本题需仔细分析题意，结合图形，利用相似三角形的性质及切线的性质即可解决问题．