Question

20．已知方程组$\left\{\begin{array}{l}{m{x}^{2}+n{y}^{2}=6}\\{{m}^{2}x-{n}^{2}y+24=0}\end{array}\right.$有一组解为$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$且m、n为整数，求m、n的值．

Answer 1

分析 把解代入方程组得到关于m、n的方程组、消去n得到关于m的方程（3m-4）（7m-12）=4．由m是整数可得3m-4和7m-12都是4的约数，由此可得到m的范围，从而得到m、n的值．

解答 解：将$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$代入方程组得：$\left\{\begin{array}{l}{4m+\frac{1}{4}n=6}\\{2{m}^{2}-\frac{1}{2}{n}^{2}+24=0}\end{array}\right.$，
整理得：$\left\{\begin{array}{l}{16m+n=24}&{①}\\{4{m}^{2}-{n}^{2}=-48}&{②}\end{array}\right.$，
由①得：n=24-16m，代入②得
4m²-（24-16m）²=-48，
即（16m-24）²-（2m）²=48，
∴（16m-24+2m）（16m-24-2m）=48，
整理得（3m-4）（7m-12）=4．
∵m是整数，
∴3m-4和7m-12都是整数，且都是4的约数，
∴-4≤3m-4≤4，且-4≤7m-12≤4，
∴0≤m≤$\frac{8}{3}$，且$\frac{8}{7}$≤m≤$\frac{16}{7}$，
∴m=2．此时（3m-4）（7m-12）=4，
n=24-16×2=-8．
∴m的值为2，n的值为-8．

点评 本题主要考查了解高次方程组、因式分解、整除问题等知识，有一定的难度，运用消元法和因式分解法得到（3m-4）（7m-12）=4是解决本题的关键．