Question

9．将两张半径均为10的半圆形的纸片完全重合叠放一起，上面这张纸片绕着直径的一端B顺时针旋转30°后得到如图所示的图形，$\widehat{AB}$与直径AB交于点C，连接点C与圆心O′．
（1）求$\widehat{BC}$的长；
（2）求图中下面这张半圆形纸片未被上面这张纸片重叠部分的面积S_白．

Answer 1

分析 （1）连结BC，作O′D⊥BC于D，根据旋转变换的性质求出∠CBA′的度数，根据弧长公式计算即可；
（2）根据扇形面积公式、三角形面积公式，结合图形计算即可．

解答 解：（1）连结BC，作O′D⊥BC于D，
由题意得，∠CBA′=30°，
则∠BO′C=120°，O′D=$\frac{1}{2}$O′B=5，
∴$\widehat{BC}$的长为：$\frac{120×π×10}{180}$=$\frac{20}{3}π$；
（2）S_白=$\frac{1}{2}$×π×10²-（$\frac{120×π×1{0}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×10$\sqrt{3}$×5）
=50π-$\frac{100}{3}π$+25$\sqrt{3}$
=$\frac{50}{3}$π+25$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是扇形面积的计算、弧长的计算、旋转变换的性质、直角三角形的性质，掌握扇形面积公式：S_扇形=$\frac{n}{360}$πR²和弧长公式：l=$\frac{nπr}{180}$是解题的关键．