Question

在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，则下列说法正确的有

 

（填序号）．①AC•BC=AB•CD；②AC²=AD•DB；③BC²=BD•BA；④CD²=AD•DB．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：由在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，易证得∠BDC=∠BCA=∠CDA=90°，又由∠A=∠A，∠B=∠B，根据有两角对应相等的三角形相似，即可证得△ACD∽△ABC，△BDC∽△BCA，则可得△ACD∽△CBD，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．

解答：解：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴

1

2

AC•BC=

1

2

AB•CD，
即∴AC•BC=AB•CD，故①正确；
∵△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，
∴BC²=BD•BA，故③正确；
∴△ACD∽△CBD，
∴

AC

AD

=

CD

DB

，
∴AC²=AD•AB，CD²=AD•DB，
故②错误，④正确．
故答案为：①③④．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用，注意对应线段的对应关系与比例变形．