Question

如图，一次函数=kx+b的图象经过A（0，-2）、B（1，0）两点，与反比例函数的图象在第一象限内交于点M，△OBM的面积为2．
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求线段AM的长；
（3）P是坐标轴上一点，当AM⊥PM时，求出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数与一次函数的交点问题

专题：

分析：（1）根据一次函数y=k₁x+b的图象经过A（0，-2），B（1，0）可得到关于b、k₁的方程组，进而可得到一次函数的解析式，设M（m，n）作MD⊥x轴于点D，由△OBM的面积为2可求出n的值，将M（m，4）代入y=2x-2求出m的值，由M（3，4）在双曲线y=

k2

x

上即可求出k₂的值，进而求出其反比例函数的解析式；
（2）根据已知构造直角三角形进而利用勾股定理得出AM的长；
（3）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，由MD⊥BP可求出∠PMD=∠MBD=∠ABO，再由锐角三角函数的定义可得出OP的值，进而可得出结论．

解答：解：（1）∵直线y=k₁x+b过A（0，-2），B（1，0）两点
∴

b=-2 k1+b=0

，
∴解得：

b=-2 k1=2

∴一次函数的表达式为y=2x-2，
∴设M（m，n），作MD⊥x轴于点D
∵S_△OBM=2，
∴

1

2

OB•MD=2，
∴

1

2

n=2，
∴n=4，
∴将M（m，4）代入y=2x-2得4=2m-2，
∴m=3
∵M（3，4）在双曲线y=

k2

x

上，
∴4=

k2

3

，
∴k₂=12，
∴反比例函数的表达式为：y=

12

x

；

（2）过点M作MF⊥y轴于点F，
则FM=3，AF=4+2=6，
∴AM=

62+32

=3

5

；

（3）过点M（3，4）作MP⊥AM交x轴于点P，
∵MD⊥BP，
∴∠PMD=∠MBD=∠ABO
∴tan∠PMD=tan∠MBD=tan∠ABO=

OA

OB

=2，
∴在Rt△PDM中，

PD

MD

=2，
∴PD=2MD=8，
∴OP=OD+PD=11
∴当PM⊥AM，此时点P的坐标为（11，0）．

点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到的知识点为用待定系数法求一次函数与反比例函数的解析式、锐角三角函数的定义，熟知以上知识是解答此题的关键．