Question

如图，在直角坐标系中，直线y=-4x+4交坐标轴于点A、B，如图所示．将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，得到△DOC．抛物线y=ax²+bx+c经过点A、B、C．
（1）直接写出点C、D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）点P是第二象限内抛物线上的动点，求△PCD面积的最大值．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出A和B点的坐标，由旋转的性质可知OA=OD，OB=OC，继而求出点C、D的坐标；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A，B，C点的坐标代入求出a，b，c的值即可；
（3）先运用待定系数法求出直线CD的解析式，设PM与CD的交点为N，根据CD的解析式表示出点N的坐标，再根据S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN就可以表示出三角形PCD的面积，运用顶点式就可以求出结论．

解答：解：（1）∵直线y=-4x+4交坐标轴于点A、B，
∴B点的坐标为（0，4），
设y=0，则x=1，
∴A点的坐标为（1，0），
∵△DOC是由△AOB绕点O逆时针旋转90°而得到的，
∴△DOC≌△AOB，
∴OC=OB=4，OD=OA=1，
∴C、D的坐标分别为（-4，0），（0，1）；
（2）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把A，B，C点的坐标代入得：

0=a+b+c 4=c 0=16a-4b+c

，
解得：

a=-1 b=-3 c=4

，
∴抛物线的解析式为y=-x²-3x+4；
②设直线CD的解析式为y=kx+b，由题意，得

-4k+b=0 b=1

，
解得：

k= 1 4 b=1

，
∴直线CD的解析式为：y=

1

4

x+1．
设PM与CD的交点为N，则点N的坐标为（t，

1

4

t+1），
∴NM=

1

4

t+1．
∴PN=PM-NM=-t²-3t+4-（

1

4

t+1）=-t²-

13

4

t+3．
∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，
∴S_△PCD=

1

2

PN•CM+

1

2

PN•OM，
=

1

2

PN（CM+OM），
=

1

2

PN•OC，
=

1

2

×4（-t²-

13

4

t+3），
=-2（t+

13

8

）²+

361

32

，
∴当t=-

13

8

时，S_△PCD的最大值为

361

32

．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式的运用，三角形的面积公式的运用，二次函数的顶点式的运用，解答本题时，先求出二次函数的解析式是关键，用函数关系式表示出△PCD的面积由顶点式求最大值是难点．