Question

已知：如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，CD⊥AD，AD²+CD²=2AB²。
（1）求证：AB=BC；
（2）当BE⊥AD于E时，试证明：BE=AE+CD。

Answer 1

证明（1）连接AC， ∵∠ABC=90°， ∴AB2+BC2=AC2， ∵CD⊥AD， ∴AD2+CD2=AC2， ∵AD2+CD2=2AB2， ∴AB2+BC2=2AB2， ∴AB=BC；
（2）过C作CF⊥BE于F， ∵BE⊥AD， ∴四边形CDEF是矩形， ∴CD=EF， ∵∠ABE+∠BAE=90°，∠ABE+∠CBF=90°， ∴∠BAE=∠CBF， 又∵AB=BC，∠BEA=∠CFB， ∴△BAE≌△CBF（AAS）， ∴AE=BF， ∴BE=BF+EF =AE+CD。