Question

在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE=BD，
（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC=ED；
（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；
（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．

Answer 1

考点：等边三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据等边三角形三线合一的性质可得∠ECB=30°，∠ABC=60°，根据AE=EB=BD，可得∠ECB=

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∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=

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∠ACB=30°，根据等角对等边即可证得结论；
（2）根据平行线的性质证得∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，即可证得结论；
（3）先求得BE=FC，然后证得△DBE≌△EFC即可；

解答：证明：（1）如图1，在等边△ABC中，AB=BC=AC，
∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，
∵AE=EB=BD，
∴∠ECB=

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2

∠ACB=30°，∠EDB=∠DEB=

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2

∠ACB=30°，
∴∠EDB=∠ECB，
∴EC=ED；

（2）如图2，∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠C=60°，
∴△AEF为等边三角形；

（3）EC=ED；
理由：∵∠AEF=∠ABC=60°，
∴∠EFC=∠DBE=120°，
∵AB=AC，AE=AF，
∴AB-AE=AC-AF，即BE=FC，
在△DBE和△EFC中，

DB=EF ∠DBE=∠EFC BE=FC

，
∴△DBE≌△EFC（SAS），
∴ED=EC．

点评：本题考查了等边三角形的判定和性质性质，平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．