Question

如图，点P在圆O外，PA与圆O相切于A点，OP与圆周相交于C点，点B与点A关于直线PO对称，已知OA＝4，PA＝4．

求：（1）∠POA的度数；

（2）弦AB的长；

（3）阴影部分的面积（结果保留π）．

 

Answer 1

【答案】

（1）60°；（2）；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由切线的性质得直角三角形OAP，应用正切函数即可求得∠POA的度数；（2）根据对称的性质，应用垂径定理和余弦函数即可求得弦AB的长；（3）根据转换思想疳阴影面积转化为求解即可.

试题解析：（1）∵PA切圆与A，∴OA⊥PA.

又∵OA＝4，PA＝， ∴. ∴∠POA = 60°.

（2）设AB与OP的交点为D，

∵点B与点A关于直线PO对称，∴AD=BD.

∵OC为半径，AD=BD，∴OC⊥AB. ∴∠OAD=90°－∠AOD=30°.

∴。∴AB=2AD=.

（3）∵，，

∴阴影面积=.

考点：1.切线的性质；2.锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值；4.对称的性质；5.垂径定理；6.扇形面积；7.转换思想的应用.