题目内容
如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（-2，0），O（0，0），B（0，2），把Rt△AOB绕着点O顺时针旋转90。得到Rt△AOB，（点A旋转到点B的位置），抛物线
经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3，
（1）求该抛物线的解析式；
（2）联结BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由。
经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点D，顶点为点P，对称轴为直线x=3， （1）求该抛物线的解析式；
（2）联结BC，CP，PD，BD，求四边形PCBD的面积；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在，请说明理由。 
（1）由题意得：B(0，2)，C(2，0)，对称轴x=3
设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k
∵抛物线抛物线经过B(0，2)，C(2，0)，
∴
解这个方程组得：
∴a=
，k=-
∴y=
(x-3)2- 
∴抛物线的解析式为y=
x2- 
（2）设对称轴与x轴的交点为N
由图可知：CD=2
S△BCD=
CD·OB=
×2×2=2
S△PCD=
CD·PN= 
CD·︱Py︱=
×2×
=
∴S四边形PCBD= S△BCD+ S△PCD=2
（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
即：S△MCD= S四边形PCBD
CD·︱My︱=
× 
︱My︱=
又∵点M在抛物线上，
∴x2-6x+8=±3
∴x2-6x+5=0 或x2-6x+11=0
由x2-6x+5=0，得x1=5，x2=1
由x2-6x+11=0
∵ b2-4ac=36-44=-8<0
∴此方程无实根。
当x1=5时，y1=
；当x2=1时，y2=
∴存在一点M(5，
)，或（1，
）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
。
设抛物线的解析式为y=a(x-3)2+k
∵抛物线抛物线经过B(0，2)，C(2，0)，
∴
解这个方程组得：
∴a=
，k=-
∴y=
(x-3)2- 
∴抛物线的解析式为y=
x2- 
（2）设对称轴与x轴的交点为N
由图可知：CD=2
S△BCD=
CD·OB=
×2×2=2 S△PCD=
CD·PN= 
CD·︱Py︱=
×2×
=
∴S四边形PCBD= S△BCD+ S△PCD=2
（3）假设存在一点M，使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
即：S△MCD= S四边形PCBD
CD·︱My︱=
× 
︱My︱=
又∵点M在抛物线上，
∴x2-6x+8=±3
∴x2-6x+5=0 或x2-6x+11=0
由x2-6x+5=0，得x1=5，x2=1
由x2-6x+11=0
∵ b2-4ac=36-44=-8<0
∴此方程无实根。
当x1=5时，y1=
；当x2=1时，y2=
∴存在一点M(5，
)，或（1，
）使得△MDC的面积等于四边形PCBD的面积
。
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