题目内容
如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线
（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE。
（a≠0）经过A（-1，0），B（3，0），C（0，3）三点，其顶点为D，连接BD，点P是线段BD上一个动点（不与B、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为E，连接BE。
（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出点P'坐标，并判断点P'是否在该抛物线上。
（2）如果点P的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
（3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出点P'坐标，并判断点P'是否在该抛物线上。
解：（1）设 ，把C（0，3）代入，得a=-1， ∴抛物线的解析式为：  ，顶点D的坐标为（1，4）； （2）设直线BD解析式为：y=kx+b（k≠0），把B、D两点的坐标代入，得  ，解得k=-2，b=6，∴直线AD的解析式为y=-2x+6， s=  ，∴  ， ，∴当  时，s取得最大值，最大值为 ；（3）当s取得最大值，  ，∴ ，∴四边形PEOF是矩形， 作点P关于直线EF的对称点P'，连接P'E、P'F， 设MC=m，则MF=m，P'M=3-m，P'E=  ，在Rt△  中，由勾股定理， ，解得m=  ，∵  ，∴  ，由  ，可得  ，EH= ，∴  ，∴P'坐标  。 |
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