Question

如图，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD＝2，AB＝3；抛物线y＝－x²＋bx＋c经过坐标原点O和x轴上另一点E(4，0)

(1)当x取何值时，该抛物线的最大值是多少？

(2)将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动.设它们运动的时间为t秒(0≤t≤3)，直线AB与该抛物线的交点为N(如图所示)．

①当t＝时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；

②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5，若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因抛物线经过坐标原点O(0，0)和点E(4，0) 　　故可得c＝0，b＝4 　　所以抛物线的解析式为　　1分 　　由 　　得当x＝2时，该抛物线的最大值是4　　2分 　　(2)①点P不在直线ME上． 　　已知M点的坐标为(2，4)，E点的坐标为(4，0)， 　　设直线ME的关系式为y＝kx＋b． 　　于是得，解得 　　所以直线ME的关系式为y＝－2x＋8　　3分 　　由已知条件易得，当时，OA＝AP＝，　　4分 　　∵P点的坐标不满足直线ME的关系式y＝－2x＋8． 　　∴当时，点P不在直线ME上　　5分 　　②以P、N、C、D为顶点的多边形面积可能为5 　　∵点A在x轴的非负半轴上，且N在抛物线上， 　　∴OA＝AP＝t． 　　∴点P，N的坐标分别为(t，t)、(t，－t 2＋4t)　　6分 　　∴AN＝－t 2＋4t(0≤t≤3)， 　　∴AN－AP＝(－t2＋4t)－t＝－t2＋3t＝t(3－t)≥0　∴PN＝－t2＋3t　　7分 　　(ⅰ)当PN＝0，即t＝0或t＝3时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是三角形，此三角形的高为AD，∴S＝DC·AD＝×3×2＝3． 　　(ⅱ)当PN≠0时，以点P，N，C，D为顶点的多边形是四边形 　　∵PN∥CD，AD⊥CD， 　　∴S＝(CD＋PN)·AD＝[3＋(－t2＋3t)]×2＝－t2＋3t＋3　　8分 　　当－t2＋3t＋3＝5时，解得t＝1、2　　9分 　　而1、2都在0≤t≤3范围内，故以P、N、C、D为顶点的多边形面积为5 　　综上所述，当t＝1、2时，以点P，N，C，D为顶点的多边形面积为5， 　　当t＝1时，此时N点的坐标(1，3)　　10分 　　当t＝2时，此时N点的坐标(2，4)　　11分 　　说明：(ⅱ)中的关系式，当t＝0和t＝3时也适合.(故在阅卷时没有(ⅰ)，只有(ⅱ)也可以，不扣分)