Question

已知1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

，这里n为任意正整数，请你利用恒等式（n+1）³=n³+3n²+3n+1，推导出1²+2²+3²+…+n²的计算公式．

Answer 1

考点：整式的混合运算

专题：计算题

分析：根据已知等式得到n³-（n-1）³=3n²-3n+1公式的n的式子，相加推导出1²+2²+3²+4²+…+n²的公式．

解答：解：∵n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：
1³-0³=3-3+1，2³-1³=3×2²-3×2+1，3³-2³=3×3²-3×3+1，…，n³-（n-1）³=3n²-3n+1，
将这n个等式的左右两边分别相加得：n³=3×（1²+2²+3²+…+n²）-3×（1+2+3+…+n）+n，
即1²+2²+3²+4²+…+n²=

n3+3(1+2+3+…+n)-n

3

=

1

6

n（n+1）（2n+1）．

点评：此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．