Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=Rt∠，AB=AC=2，以AB为直径的⊙O交BC于D，
（1）求证：点D平分弧AB；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

证明：（1）连结AD，
∵AB是直径，
∴∠BDA=Rt∠，
∵AB=AC，∠BAC=Rt∠，
∴∠B=45°，
∴∠BAD=45°，
∴BD=AD，
∴=，
∴点D平分弧AB；

（2）由BD=AD，
∴S_弓BD=S_弓AD，
∴S_阴=S_△ACD=S_△ABC=×AB×AC=1．
分析：（1）首先连接AD，由以AB为直径的⊙O交BC于D，易得∠ADB=90°，继而可得△ABD是等腰直角三角形，即可得点D平分弧AB；
（2）由由BD=AD，可得S_弓BD=S_弓AD，即可得S_阴=S_△ACD，继而求得答案．
点评：此题考查了圆周角定理、弧与弦的关系以及阴影部分的面积问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．