Question

（2012•房山区一模）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=30°，∠B=60°，AD=2

3

，CD=2，点P是线段AB上一个动点，过点P作PQ⊥AB于P，交其它边于Q，设BP为x，△BPQ的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：过C作CE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，可得四边形CDFE是矩形，根据矩形的对边相等可得CE=DF，EF=CD=2，在Rt△ADF中，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DF，再利用勾股定理求出AF，在Rt△BCE中，解直角三角形求出BE的长，然后分①点Q落在BC上，②点Q落在CD上，③点Q落在AD上，三种情况分别求出y与x的函数关系式，再根据相应函数图象解答．

解答：解：如图，过C作CE⊥AB于点E，过D作DF⊥AB于点F，
又∵AB∥CD，
∴四边形CDFE是矩形，
∴CE=DF，EF=CD=2，
在Rt△ADF中，∵∠A=30°，AD=2

3

，
∴DF=

1

2

AD=

1

2

×2

3

=

3

，
AF=

AD2-DF2

=

(2 3 )2- 3 2

=3，
在Rt△BCE中，BE=CE÷tan∠B=

3

÷tan60°=

3

÷

3

=1，
①当0≤x≤1时，点Q落在BC上，
此时，△BPQ的面积为y=

1

2

x•xtan60°=

1

2

x•

3

x=

3

2

x²，
②当1≤x≤3时，点Q落在CD上，
此时，△BPQ的面积为y=

1

2

x•

3

=

3

2

x，
③当3≤x≤6时，点Q落在AD上，
此时，△BPQ的面积为y=

1

2

x•（6-x）tan30°=

1

2

x•

3

3

（6-x）=-

3

6

x²+

3

x=-

3

6

（x-3）²+

3 3

2

，
所以，y与x的函数关系式为y=

3 2 x2(0≤x≤1) 3 2 x(1≤x≤3) - 3 6 (x-3)2+ 3 3 2 (3≤x≤6)

，
纵观各选项，A选项图形符合．
故选A．

点评：本题考查了动点问题的函数图象，主要利用了梯形的求解，解直角三角形，勾股定理以及三角形的面积，分段求出函数解析式是解题的关键．