Question

（2008•增城市模拟）如图，已知∠A0B=45°，P是∠A0B内一点，PO=2

2

．
（1）分别作点P关于OA、0B的对称点P₁、P₂；（尺规组图，不要求写作法，但要保留作图痕迹．）
（2）求线段P₁P₂的长度．

Answer 1

分析：（1）过点P作OA、OB的垂线，垂线上到垂足的距离等于P到垂足的距离的点就是所要求作的点P的对称点；
（2）连接OP₁，OP₂，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OP=OP₁=OP₂，并且可以求出∠P₁OP₂=90°，然后利用勾股定理求解即可．

解答：解：（1）如图所示，即点P₁、P₂为所求；

（2）连接OP₁，OP₂，
∵点P₁、P关于OA对称，
∴∠P₁OA=∠POA，OP₁=OP，
同理：∠P₂OB=∠POB，OP₂=OP，
∴∠P₁OP₂=∠P₁OP+∠P₂OP，
=2∠POA+2∠POB，
=2（∠POA+∠POB），
=2∠AOB，
=90°，
在Rt△P₁OP₂中，P₁P₂=

OP12+OP22

=

(2 2 )2+(2 2 )2

=4．
∴线段P₁P₂的长度4．

点评：本题考查了故直线外一点作已知直线的垂线的作法，以及勾股定理的应用，是基本作图，难度不大．