题目内容
如图，I是Rt△ABC（∠C=90°）的内心，过I作直线EF∥AB，分别交CA、CB于E、F．已知EI=m，IF=n
，则用m、n表示S△ABC=分析：过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，由△ABC∽△EIG∽△IFH，得到相似比，表示三角形的两直角边a、b，由勾股定理求内切圆半径r，根据ab=2S△ABC=r（a+b+c），求斜边c，根据S△ABC=
ab求解．
| 1 |
| 2 |
解答：解：如图，过I分别作三边的垂线，垂足为D、F、G，设AB=c，BC=a，AC=b，ID=IH=IG=r，
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得
=
，
=
，
解得a=
，b=
，
由勾股定理，得c2=a2+b2，得1=
+
，
解得r=
，
又ab=2S△ABC=r（a+b+c），
∴
=r（
+
+c），
解得c=m+n+
=m+n+
，
∴S△ABC=
ab=
=
（
）2（m+n+
）2
=
．
故答案为：
．
由△ABC∽△EIG∽△IFH，得
| a |
| c |
| r |
| m |
| b |
| c |
| r |
| n |
解得a=
| rc |
| m |
| rc |
| n |
由勾股定理，得c2=a2+b2，得1=
| r2 |
| m2 |
| r2 |
| n2 |
解得r=
| mn | ||
|
又ab=2S△ABC=r（a+b+c），
∴
| r2c2 |
| mn |
| rc |
| m |
| rc |
| n |
解得c=m+n+
| mn |
| r |
| m2+n2 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| r2c2 |
| 2mn |
=
| 1 |
| 2mn |
| mn | ||
|
| m2+n2 |
=
mn(m2+n2+mn+(m+n)
| ||
| m2+n2 |
故答案为：
mn(m2+n2+mn+(m+n)
| ||
| m2+n2 |
点评：本题考查了三角形内心的性质．关键是作辅助线，利用三角形相似表示直角三角形的三边，利用直角三角形的面积公式求解．
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