题目内容

如图,△ABC是Rt△,∠CAB=30°,BC=1,以AB、BC、AC为边分别作3个等边△ABF,△BCE,△ACD.过F作MF垂直DA的延长线于点M,连接并延长DE交MF的延长线于点N.那么tan∠N=
3
5
3
5
分析:作EG⊥MN于点G,在直角△ABC中,利用三角函数即可求得AB、AC的长度,从而求得DM、EF的长,在直角△EFG中,利用三角函数求得FG的长,EG的长度,然后利用△DMN∽△EGN,相似三角形的对应边的比相等,即可求得MN的长,然后利用正切函数的定义即可求解.
解答:解:作EG⊥MN于点G.
∵在直角△ABC中,BC=1,∠CAB=30°,
∴AB=2,AC=
3

∵△ABF,△BCE,△ACD是等边三角形,
∴AD=AC=
3
,AB=BF=AF=2,BE=BC=1,
∵在直角△AMF中,∠MAF=30°,AF=AB=2,
∴AM=
3
,MF=1,
∴DM=AD+AM=
3
+
3
=2
3
,EF=BE+BF=1+2=3,
又∵直角△EFG中,∠FEG=30°,
∴FG=
1
2
EF=
3
2
,EG=
3
3
2

∴MG=1+
3
2
=
5
2

∵EG∥DM,
∴△DMN∽△EGN,
EG
DM
=
GN
MN
,设GN=x,
3
3
2
2
3
=
x
x+
5
2

解得:x=
15
2
,则MN=
15
2
+
5
2
=10,
∴tanN=
DM
MN
=
2
3
10
=
3
5

故答案是:
3
5
点评:本题考查了三角函数的定义,以及解直角三角形的方法,相似三角形的性质,正确求得MN的长度是关键.
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