Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，过点D作⊙O的切线EF，与AC的延长线交于点E，与AB的延长线交于点F．
（1）试判断EF与BC的位置关系，并说明理由；
（2）若FD=6，AF=9，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连结OD，就可以由条件得出OD∥AE，就可以得出∠ODF=∠AEF，由切线的性质可以得出∠ODF=90°，进而有∠E=90°，由∠ACB=90°就可以得出∠E=∠ACB，就有BC∥EF；
（2）根据切割线定理就可以得出BF的值，就可以得出AB的值而得出半径．

解答：解：（1）BC∥EF，理由如下：
连结OD．
∵EF是⊙O的切线交⊙O于点D，
∴OD⊥EF，∠ODA=∠OAD．
∴∠ODF=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
∴∠ODA=∠EAD，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠E=90°．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°
∴∠ACB=∠E，
∴BC∥EF；

（2）∵EF是⊙O的切线，
∴DF²=BF•AF．
∵FD=6，AF=9，
∴36=9BF，
∴BF=4，
∴AB=5，
∴OB=2.5
答：⊙O的半径为2.5．

点评：本题考查了平行线的性质及判定的运用，切线的性质的运用，角平分线的性质的运用，切割线定理的运用，解答时运用好切线的性质求解是解答本题的关键．